Ce travail tente d’éclairer les difficultés éprouvées par les élèves sortant du secondaire à effectuer la transition entre l’analyse telle qu’elle leur a été enseignée et celle qui leur est proposée à l’université. Pour ce faire, nous nous focalisons sur la définition usuelle du concept de limite, de par le rôle central qu’elle joue dans l’architecture déductive de l’analyse enseignée à l’université, mais également de par les déficiences constatées dans son enseignement, tant chez les enseignants que chez les apprenants.
L’épistémologie mathématique, développée par Imre Lakatos, nous permet de préciser cette centralité et de soutenir que la définition du concept de limite est fondamentalement construite afin de donner à l’analyse une architecture déductive. Cela signifie, d’une part, que tous les autres concepts de base de l’analyse sont définis à partir de cette dernière (dérivée, intégrale, convergence des séries, ...) et, d’autre part, que cette définition est construite pour permettre de démontrer les théorèmes où interviennent ces autres concepts (existence de l'intégrale définie, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de la moyenne, ...).
Cette analyse nous donne prise sur la problématique envisagée en nous permettant de contraster la notion de définition telle qu’elle est entendue dans l’enseignement secondaire et telle qu’elle est entendue dans un cours d’analyse enseigné à l’université. Cette approche consistant à contraster différentes institutions, ici le secondaire et l’université, est le propre de la théorie anthropologique du didactique (T.A.D.) d’Yves Chevallard constituant la première partie du cadre théorique dans lequel nous nous plaçons. Nous défendons la thèse que l’enseignement secondaire est confronté à un paradoxe (qui sera précisé lors du point IV.1) le conduisant à forger, dans le chef des élèves, un rapport à la notion de définition (au moins en ce qui concerne le concept de limite) qui s’érige véritablement en obstacle à l’adoption d’un rapport lakatosien à son égard.
Cette analyse institutionnelle est confortée par les résultats d’une expérience montrant la résistance qu’opposent de futurs étudiants à adopter un rapport lakatosien à la notion de définition. Cette confrontation avec le caractère fondamental, c’est à dire lakatosien, de la définition usuelle du concept de limite est organisée par le truchement d’une situation adidactique, une problématique qui nécessite de nouer un rapport lakatosien à la notion de définition afin d’être résolue. Ces deux concepts, celui de situation fondamentale et de situation adidactique, constituant le cœur de la théorie des situations didactiques (T.S.D.) de Guy Brousseau, l’autre partie de notre cadre théorique, est également exposée au chapitre 3 de la partie II.
Pour finir, ce travail met en perspective d’autres approches traitant la même problématique dont celles qui la voient comme essentiellement réductible aux problèmes liés à l’acquisition de la logique des prédicats. Nous montrons effectivement, à l’aide de notre analyse lakatosienne, que l’adjectif « formalisé » qui vient souvent qualifier l’analyse au niveau universitaire est entendu en un sens étriqué. Il est souvent réduit à la seule présence de symboles, dont les quantificateurs de la logique des prédicats. Cette réduction voile les véritables raisons d’être de l’analyse, ne fournissant ainsi qu’une prise illusoire sur la problématique qui nous anime.
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